初一\\\\\_奥数课本\\\\\_下册



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2010
初一 奥数课本 下册
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第十三讲 从三角形内角和谈起 三角形的内角和等于 1
  80°(也称一个平角)是三角形的一个基本性质.从它出发可引出下面两个事实: (
  1)三角形的外角等于此三角形中与它不相邻的两个内角和. 如图
  1-35 所示.延长三角形的三条边,由三角形一条边
及另一条边的延长线所成的角称为该三角形的一个外角.如图
  1-35 中的∠
  1,∠
  2,∠
  3,∠
  4,∠
  5,∠
  6.由于 ∠1+∠ABC=1
  80°(平角), 又 ∠BAC+∠BCA+∠ABC=1
  80°, 所以 ∠1=∠BAC+∠BCA. 同法可证 ∠3=∠BAC+∠ABC, ∠5=∠ABC+∠ACB. (
  2)n 边形的内角和等于(n-
  2)1
  80°. 如图
  1-36 所示.以 n 边形 A1A2An 的某一个顶点(如 A
  1)为共同顶点,将这个 n 边形“分割成” n-2 个三角形 △A1A2A
  3,△A1A3A
  4,, △A1An-1An.由于每一个三角形的内角和等于 1
  80°,所以,这 n-2 个三角形的内角 和(即 n 边形的内角和)为(n-
  2)1
  80°(详证见后面例
  6).
三角形内角和等于 1
  80°这个事实有着广泛的应用. 例 1 如图
  1-37 所示.平面上六个点 A,B, C,D,E,F 构成一个封闭折线图形.求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠ E+∠F. 分析 所求的六个角分布在三个三角形中,但需减去顶点位于 P,Q,R 处的三个内角,由图形结构不难看出,这 三个内角可以集中到△PQR 中.
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解 在△PAB,△RCD,△QEF 中, ∠A+∠B+∠APB=1
  80°, ① ∠C+∠D+∠CRD=1
  80°, ② ∠E+∠F+∠EQF=1
  80°. ③ 又在△PQR 中 ∠QPR+∠PRQ+∠PQR=1
  80°.④ 又 ∠APB=∠QPR,∠CRD=∠PRQ, ∠EQF=∠PQR(对顶角相等). ①+②+③-④得 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=3
  60°. 说明 依据图形的特点,利用几何图形的性质将分散的角集中到某些三角形之中,是利用三角形内角和性质的前 提. 例 2 求如图
  1-38 所示图形中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的大小. 分析 如果我们注意力放在三角形内角和上,那么 ∠ABE=∠ABO+∠OBE, ∠AEB=∠AED+∠OEB. 而∠ABE,∠AEB 属于△ABE,∠OBE,∠OEB 属于△OBE,再注意到△OBE 及△ODC 中,因∠BOE=∠ COD(对顶角),因而, ∠D+∠C=∠OBE+∠OEB.从而,可求出题中五角和.
解法 1 连接 BE.在△COD 中, ∠C+∠D+∠COD=1
  80°. ① 在△ABE 中, ∠A+∠ABE+∠AEB=1
  80°. ② ①+②得 (∠A+∠C+∠D)+∠COD+∠ABE+∠AEB=3
  60°. ③ 又 ∠ABE=∠ABO(即为∠B)+∠OBE, ∠AEB=∠AEO(即为∠E)+∠OEB. 故③式可化为 (∠A+∠B+∠C+∠D+∠E) +(∠COD+∠OBE+∠OEB)=3
  60°.④ 由于 ∠COD=∠BOE(对顶角相等), 在△BOE 中 ∠COD+∠OBE+∠OEB
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=∠BOE+∠OBE+∠OEB =1
  80°. 由④得 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=1
  80°. 解法 2 如果我们注意到三角形外角的性质,结合图形(图
  1-
  39)会发现在△OCD 中有∠1=∠C+∠D,△APE 中∠ 2=∠A+∠E,在△BOP 中∠1+∠2+∠B=1
  80°,从而有∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=1
  80°.
说明 本例解法 2 比解法 1 简洁,因为我们应用了关于三角形外角的性质. 例 3 如图
  1-40 所示.在△ABC 中,∠B 的平分线与∠C 的外角平分线交于 D,且∠D=
  30°.求∠A 的度数.
分析∠D 位于△BCD 中,∠A 位于△ABC 中,它们位于两个不同的三角形之中,欲利用三角形内角和定理解决 问题,就必须寻求两个三角形中内角之间的关系,角平分线的条件为我们提供了信息,事实上∠
解 由已知,∠D=
  30°.在△BCD 中, ∠CBD+∠BCD=1
  80°-
  30°=1
  50°.① 因为 BD 是∠ABC 的平分线,所以
又因为 CD 是∠ACE 的平分线,所以
从而
由①,②,③

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所以
所以
∠A=
  60°.
说明 解决本题的关键在于两条角平分线架起了△ABC 与△BCD 之间的桥梁,完成了从已知向未知的过渡.细心 审题,发现已知与所求之间的联系,常是解题的重要前提. 例 4 如图 1-41 所示.∠A=
  10°,∠ABC=
  90°, ∠ACB=∠DCE,∠ADC=∠EDF,∠CED=∠FEG.求∠F 的度数.
分析 如果我们能注意到所给的一系列等角条件正反映了内角与外角的关系,问题就不难解决.例如在∠ACB=∠ DCE 中,∠ACB 是△ABC 的一个内角,∠DCE 是△ACD 的外角.∠ADC=∠EDF 及∠CED=∠FEG 两个等式两边的 角也是类似情况,这就为我们利用外角定理解题创造了机会. 解 在△ABC 中,∠A=
  10°,∠ABC=
  90°,所以∠ACB=
  80°.因为 ∠DCE=∠ACB=
  80°, 在△ACD 中,∠DCE 是它的一个外角,所以 ∠DCE=∠A+∠ADC,
  80°=
  10°+∠ADC, 所以 ∠ADC=
  70°,∠EDF=∠ADC=
  70°. 在△ADE 中,∠EDF 是它的一个外角,所以 ∠EDF=∠A+∠AED,
  70°=
  10°+∠AED, 所以 ∠AED=
  60°,∠FEG=∠AED=
  60°. 在△AEF 中,∠FEG 是它的一个外角,所以 ∠FEG=∠A+∠F, 所以 ∠F=∠FEG-∠A=
  60°-
  10°=
  50°. 例 5 如图
  1-42 所示.△ABC 的边 BA 延长线与外角∠ACE 的平分线交于 D.求证:∠BAC>∠B.
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分析 三角形的外角定理的意义中已暗含着“三角形的外角大于三角形中与此外角不相邻的内角”的意义.证明有 关三角形角的不等问题可从此下手. 证 ∠BAC 是△ACD 的一个外角,因为∠BAC=∠1+∠D,所以
  2∠BAC=
  2∠1+
  2∠D=∠ACE+
  2∠D>∠ACE①(因 为 CD 是∠ACE 的平分线).又∠ACE 是△ABC 的一个外角,所以 ∠ACE=∠B+∠BAC. ② 由②,③
  2∠BAC>∠B+∠BAC, 所以 ∠BAC>∠B. 由于多边形可以分割为若干个三角形,因而多边形的内角和可以转化为三角形内角和来计算.下面我们来求 n(n ≥3 的自然数)边形的内角和. 例 6 n 边形的内角和等于(n-
  2)1
  80°. 分析 我们不妨先从具体情况入手. 当 n=4 时,如图
  1-43 所示.四边形 ABCD 用一条对角线可以分割成两个三角形,因此 四边形 ABCD 的内角和=三角形 ABC 的内角和+三角形 ACD 的内角和 =21
  80°=3
  60°.
当 n=5 时,如图
  1-44 所示.五边形 ABCDE 用两条对角线可以分割为三个三角形.类似于 n=4 的情况,可证 明:五边形 ABCDE 的内角和=31
  80°=5
  40°. 由这两个具体实例,我们可以找到 n 边形的内角和的证明方法. 证 在 n 边形 A1A2A3An 中,以 A1 为一个端点,连接对角线 A1A
  3,A1A
  4,,A1An-
  1,共有(n-
  1)-3+1=n-3 条对角线,将这个 n 边形分割成 n-2 个三角形.显然,这 n-2 个三角形的内角“合并”起来恰是这个 n 边形的 n 个内 角,如图 1-45 所示.所以
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n 边形的内角和=(n-
  2)1
  80°.
说明(
  1)从具体的简单的问题入手常能找到解决复杂问题的思路.如本题从 n=
  4,5 入手,找到将多边形分割为三 角形的方法(这是一个本质的方法),从而可以推广到 n 为任意自然数的范围中去. (
  2)各条边都相等,各个内角都相等的多边形称为正多边形.由本例自然可以推出正 n 边形每一个内角的大小. 设正 n 边形的一个内角大小为 a,则 n 边形的内角和=na=(n-
  2)1
  80°, 所以
例如正五边形的内角的度数为
正十边形的内角度数为
练习十三
  1.如图
  1-46 所示.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的大小.

  2.如图
  1-47 所示.求 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的大小.
  3.如图
  1-48 所示.求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的大小.
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  4.如图 1-49 所示.求∠a+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G 的大小.
  5.如图
  1-50 所示.△ABC 中,AE 是∠A 的平分线,CD⊥AE 于 D.求证:∠ACD>∠B.
  6.若多边形内角和分别为下列度数时,试分别求出多边形的边数: (
  1)12
  60°;(
  2)21
  60°.
  7.证明:n 边形的外角和等于 3
  60°.
第十四讲 面积问题 我们已经学过的面积公式有:
(
  2)S 平行四边形=ah(其中 h 表示 a 边上的高). 的长,h 表示平行边之间的距离). 由于多边形可以分割为若干个三角形,多边形的面积等于各三角形面积和,因此,三角形的面积是面积问题的基 础. 等积变形是面积问题中富于思考性的有趣问题,它是数学课外活动的重要内容,这一讲中我们将花较多的篇幅来 研究多边形的等积变形. 等积变形是指保持面积不变的多边形的变形. 三角形的等积变形是多边形等积变形的基础,关于三角形的等积变形有以下几个主要事实: (
  1)等底等高的两个三角形面积相等. (
  2)两个三角形面积之比,等于它们的底高乘积之比. (
  3)两个等底三角形面积之比,等于它们的高之比. (
  4)两个等高三角形面积之比等于它们的底之比. 例 1 已知△ABC 中三边长分别为 a,b,c,对应边上的高分别为 ha=
  4,hb=
  5,hc=
  3.求 a∶b∶c.
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解 设△ABC 的面积为 S,则
所以
说明 同一个三角形依面积公式可以有三种不同的表示法,由此获得三边之比. 例 2 如图
  1-
  51, ABCD 的面积为 64 平方厘米(cm
  2),E,F 分别为 AB,AD 的中点,求△CEF 的面积.
分析 由于△CEF 的底与高难以从平行四边行的面积中求出,因此,应设法将四边形分割为三角形,利用面积比与 底(高)比来解决.
解 连接 AC.E 为 AB 中点,所以
同理可得 S△cDF=16(平方厘米). 连接 DE,DB,F 为 AD 中点,所以
从而 S△cEF=SaBCD-S△aEF-S△bCE-S△cDF =64-16-16-8=24(平方厘米). 说明 (
  1) E,F 是所在边的中点启发我们添加辅助线 BD,DE. (
  2)平行四边形的对角线将平行四边形分成两个三角形的面积相等是由平行四边形对边相等及平行线间的距离处处 相等,从而这两个三角形的底、高相等获知的.
分析 直接求△DEF 面积有困难,观察图形,发现△DEF 与△DCF 有共同的顶点 D,其底边在同一条直线上,因 而,高相同.所以
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于是,求△DEF 的面积就转化为求△DCF 的面积.用同样的办法可将△DCF 的面积转化为△ADC 的面积,进而 转化为△ABC 的面积.
点 D,且底边 EF,CF 在 同一条直线上,
EF∶CF=
  2∶
  3, 同理,△DCF 与△DCA 有共同的顶点 C,且底边 DF,DA 在同一条直线上,由已知 DF∶DA=
  2∶
  3, 所以
例 4 用面积方法证明:三角形两边中点连线平行于第三边.
分析与解 如图
  1-53 所示.设 E,F 分别是 AB,AC 的中点,可求得△EBC 与△FBC 的面积相等(均为△ABC 面 积的一半).由于这两个三角形同底 BC,因而这两个三角形的顶点 E,F 在一条与底边 BC 平行的直线上,所以 EF∥ BC. 说明 (
  1)从证题过程看出,条件“E,F 是所在边的中点”可
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从而 S△cBE=S△bCF. 这两个三角形同底 BC,因此,它们的顶点 E,F 的连线与底边平行. (
  2)同样用面积的方法可以证明如下事实:三角形 ABC 中,若 EF∥BC 且 AE∶EB=m,则 AF∶FC=m(请同学们自 己证明). 例 5 如图
  1-
  54.在△ABC 中,E 是 AB 的中点,D 是 AC 上的一点,且 AD∶DC=
  2∶
  3,BD 与 CE 交于 F, S△
ABC=
  40,求
SAEFD.
分析 四边形 AEFD 可分割为△AED 与△DEF.从 E 是 AB 中点及 D 分 AC 为
  2∶3 的条件看,△AED 的面积不难 推知,关键是如何推求△DEF 的面积.为此,需通过添加辅助线的办法,寻求△DEF 的面积与已知面积的关系. 解 取 AD 的中点 G,并连接 EG,在△ABD 中,E 是 AB 的中点,由例 3 知 EG∥BD.又 CD∶DG=
  3∶
  1,从而, 在△CEG 中, CF∶FE=CD∶DG=
  3∶1(例 3 说明(
  2)), 所以 S△DFC∶S△DFE=
  3∶
  1. 设 S△DEF=x,则 S△DFC=3x,S△DEC=4x.由
 

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